Loi de Poisson
La loi de Poisson est une loi de probabilité qui donne la chance d'observer 0, 1, 2… événements rares quand on en connaît la moyenne. En football, elle calcule la probabilité de chaque nombre de buts d'une équipe à partir de ses buts attendus (λ), puis celle de chaque score exact.
La formule est P(k) = e^(−λ) × λ^k / k!, où λ est le nombre moyen de buts attendus et k le nombre de buts. Elle convient bien au football parce que les buts sont rares et à peu près indépendants les uns des autres au fil d'un match. Le statisticien Michael Maher l'a appliquée aux scores de football dès 1982, et elle reste la base de nombreux modèles de prédiction.
En pratique, on calcule la distribution des buts de chaque équipe, puis on suppose les deux indépendantes : la probabilité d'un score est le produit des deux probabilités. En additionnant les cases de cette grille, on obtient la victoire à domicile (cases où l'équipe qui reçoit marque plus), le nul (la diagonale), la victoire à l'extérieur, les deux équipes marquent ou le nombre total de buts.
Le modèle a des limites connues. L'indépendance des deux équipes est une approximation : dans les faits, les scores faibles (0-0, 1-1) et les nuls sont un peu plus fréquents que ne le prévoit un Poisson simple. Mark Dixon et Stuart Coles ont proposé en 1997 une correction de ces scores faibles, ainsi qu'une pondération qui donne plus de poids aux matchs récents. Surtout, tout dépend de λ : une loi de Poisson ne vaut que ce que valent les buts attendus qu'on lui fournit.
Exemple
Avec λ = 1,5 but attendu pour l'équipe A : P(0) ≈ 22,3 %, P(1) ≈ 33,5 %, P(2) ≈ 25,1 %, P(3) ≈ 12,6 %. Avec λ = 1,1 pour l'équipe B : 33,3 %, 36,6 %, 20,1 % et 7,4 %. Probabilité du 1-1 : 0,335 × 0,366 ≈ 12,3 %, le score le plus probable de ce match ; celle du 0-0 : 0,223 × 0,333 ≈ 7,4 %.
Comment Elofoot l’utilise
C'est le moteur des chiffres d'Elofoot. Les buts attendus partent du xG moyen réel de chaque équipe (à défaut, 1,45 à domicile et 1,15 à l'extérieur), sont ajustés par la force relative (classement, forme, niveau de la division) et l'avantage du terrain (× 1,12 / ÷ 1,12), puis bornés entre 0,25 et 4. Une grille indépendante de 0 à 10 buts par équipe donne ensuite le 1X2, le score le plus probable, les deux équipes marquent et les plus/moins de 0,5 à 3,5 buts. En direct, la grille est recalculée sur le temps restant à partir du score réel.
Questions fréquentes
- Pourquoi utilise-t-on la loi de Poisson en football ?
- Parce que les buts sont des événements rares et à peu près indépendants : leur nombre dans un match suit assez bien une loi de Poisson. Il suffit alors d'estimer les buts attendus de chaque équipe pour obtenir la probabilité de chaque score.
- Comment calculer la probabilité d’un score exact avec Poisson ?
- On calcule la probabilité que chaque équipe marque le nombre de buts voulu, puis on multiplie les deux. Avec 1,5 et 1,1 but attendu, le 1-1 vaut 33,5 % × 36,6 % ≈ 12,3 %.
- Quelles sont les limites du modèle de Poisson ?
- Il suppose les buts des deux équipes indépendants et sous-estime un peu les nuls et les scores faibles, ce que corrige le modèle de Dixon et Coles (1997). Et il dépend entièrement de la qualité des buts attendus estimés.
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