Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsgesetz, das die Chance angibt, 0, 1, 2 … seltene Ereignisse zu beobachten, wenn ihr Durchschnitt bekannt ist. Im Fußball berechnet sie aus den erwarteten Toren eines Teams (λ) die Wahrscheinlichkeit jeder Toranzahl – und daraus die Wahrscheinlichkeit jedes exakten Ergebnisses.
Die Formel lautet P(k) = e^(−λ) × λ^k / k!, wobei λ die durchschnittlich erwarteten Tore sind und k die Anzahl der Tore. Sie passt gut zum Fußball, weil Tore selten sind und über ein Spiel ungefähr unabhängig voneinander fallen. Der Statistiker Michael Maher wandte sie schon 1982 auf Fußballergebnisse an, und sie ist bis heute die Grundlage vieler Vorhersagemodelle.
In der Praxis berechnet man die Torverteilung jedes Teams und nimmt an, dass beide unabhängig sind: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist das Produkt der beiden Wahrscheinlichkeiten. Summiert man die Felder dieses Rasters, erhält man den Heimsieg (Felder, in denen das Heimteam mehr Tore erzielt), das Unentschieden (die Diagonale), den Auswärtssieg, beide Teams treffen oder die Gesamtzahl der Tore.
Das Modell hat bekannte Grenzen. Die Unabhängigkeit der beiden Teams ist eine Näherung: In Wirklichkeit sind niedrige Ergebnisse (0:0, 1:1) und Unentschieden etwas häufiger, als ein einfaches Poisson-Modell vorhersagt. 1997 schlugen Mark Dixon und Stuart Coles eine Korrektur für diese niedrigen Ergebnisse vor, zusammen mit einer Gewichtung, die jüngeren Spielen mehr Bedeutung gibt. Vor allem hängt alles an λ: Ein Poisson-Modell ist nur so gut wie die erwarteten Tore, mit denen es gefüttert wird.
Beispiel
Bei λ = 1,5 erwarteten Toren für Team A: P(0) ≈ 22,3 %, P(1) ≈ 33,5 %, P(2) ≈ 25,1 %, P(3) ≈ 12,6 %. Bei λ = 1,1 für Team B: 33,3 %, 36,6 %, 20,1 % und 7,4 %. Wahrscheinlichkeit für 1:1: 0,335 × 0,366 ≈ 12,3 %, das wahrscheinlichste Ergebnis dieses Spiels; Wahrscheinlichkeit für 0:0: 0,223 × 0,333 ≈ 7,4 %.
So nutzt Elofoot den Begriff
Sie ist der Motor hinter den Zahlen von Elofoot. Die erwarteten Tore starten bei den tatsächlichen durchschnittlichen xG jedes Teams (fehlen diese, bei 1,45 zu Hause und 1,15 auswärts), werden an die relative Stärke (Tabellenplatz, Form, Ligastärke) und den Heimvorteil (× 1,12 / ÷ 1,12) angepasst und dann zwischen 0,25 und 4 begrenzt. Ein unabhängiges Raster von 0 bis 10 Toren pro Team liefert dann 1X2, das wahrscheinlichste Ergebnis, beide Teams treffen und Über/Unter 0,5 bis 3,5 Tore. Während eines Spiels wird das Raster über die Restzeit anhand des tatsächlichen Spielstands neu berechnet.
Häufige Fragen
- Warum nutzt man im Fußball die Poisson-Verteilung?
- Weil Tore seltene und ungefähr unabhängige Ereignisse sind, sodass die Zahl der Tore in einem Spiel recht gut einer Poisson-Verteilung folgt. Dann braucht man nur noch die erwarteten Tore jedes Teams, um die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses zu erhalten.
- Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines exakten Ergebnisses mit Poisson?
- Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Team die nötige Zahl an Toren erzielt, und multipliziere beide. Bei 1,5 und 1,1 erwarteten Toren kommt 1:1 auf 33,5 % × 36,6 % ≈ 12,3 %.
- Wo liegen die Grenzen des Poisson-Modells?
- Es nimmt an, dass die Tore beider Teams unabhängig sind, und unterschätzt Unentschieden und niedrige Ergebnisse leicht, was das Dixon-Coles-Modell (1997) korrigiert. Und es hängt komplett davon ab, wie gut die geschätzten erwarteten Tore sind.
Siehe auch
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