Poisson dağılımı
Poisson dağılımı, ortalaması bilinen nadir olayların 0, 1, 2… kez gerçekleşme şansını veren bir olasılık yasasıdır. Futbolda, bir takımın gol beklentisinden (λ) her gol sayısının olasılığını, buradan da her skorun olasılığını hesaplar.
Formül P(k) = e^(−λ) × λ^k / k! şeklindedir; λ ortalama gol beklentisi, k ise gol sayısıdır. Futbola iyi uyar, çünkü goller nadirdir ve bir maç boyunca birbirinden kabaca bağımsızdır. İstatistikçi Michael Maher bunu futbol skorlarına daha 1982’de uyguladı ve hâlâ birçok tahmin modelinin temelidir.
Uygulamada her takımın gol dağılımı hesaplanır, ardından ikisinin bağımsız olduğu varsayılır: bir skorun olasılığı iki olasılığın çarpımıdır. Bu tablonun hücreleri toplanarak ev sahibi galibiyeti (ev sahibinin daha çok gol attığı hücreler), beraberlik (köşegen), deplasman galibiyeti, karşılıklı gol veya toplam gol sayısı elde edilir.
Modelin bilinen sınırları vardır. İki takım arasındaki bağımsızlık bir yaklaşıklıktır: gerçekte düşük skorlar (0-0, 1-1) ve beraberlikler temel bir Poisson modelinin öngördüğünden biraz daha sıktır. 1997’de Mark Dixon ve Stuart Coles bu düşük skorlar için bir düzeltme ve yakın tarihli maçlara daha fazla önem veren bir ağırlıklandırma önerdi. Her şeyden önce her şey λ’ya bağlıdır: bir Poisson modeli ancak beslendiği gol beklentisi kadar iyidir.
Örnek
A takımı için λ = 1,5 gol beklentisiyle: P(0) ≈ %22,3, P(1) ≈ %33,5, P(2) ≈ %25,1, P(3) ≈ %12,6. B takımı için λ = 1,1 ile: %33,3, %36,6, %20,1 ve %7,4. 1-1 olasılığı: 0,335 × 0,366 ≈ %12,3, bu maçın en olası skoru; 0-0 olasılığı: 0,223 × 0,333 ≈ %7,4.
Elofoot bunu nasıl kullanıyor?
Elofoot’un rakamlarının arkasındaki motordur. Gol beklentisi her takımın gerçek ortalama xG’sinden başlar (bu yoksa iç sahada 1,45, deplasmanda 1,15), göreli güce (puan durumu, form, ligin gücü) ve iç saha avantajına (× 1,12 / ÷ 1,12) göre düzeltilir, ardından 0,25 ile 4 arasında sınırlanır. Takım başına 0 ile 10 gol arasındaki bağımsız bir tablo daha sonra 1X2’yi, en olası skoru, karşılıklı golü ve 0,5 ile 3,5 arası alt/üst değerlerini verir. Maç sırasında tablo, gerçek skordan yola çıkarak kalan süre üzerinden yeniden hesaplanır.
Sıkça sorulan sorular
- Futbolda neden Poisson dağılımı kullanılır?
- Çünkü goller nadir ve kabaca bağımsız olaylardır; bu yüzden bir maçta atılan gol sayısı Poisson dağılımına oldukça iyi uyar. Her skorun olasılığını elde etmek için yalnızca her takımın gol beklentisi yeterlidir.
- Poisson ile bir skorun olasılığı nasıl hesaplanır?
- Her takımın gereken gol sayısını atma olasılığı hesaplanır, ardından ikisi çarpılır. 1,5 ve 1,1 gol beklentisiyle 1-1, %33,5 × %36,6 ≈ %12,3 çıkar.
- Poisson modelinin sınırları nelerdir?
- İki takımın gollerinin bağımsız olduğunu varsayar ve beraberlikleri ve düşük skorları biraz eksik tahmin eder; Dixon-Coles modeli (1997) bunu düzeltir. Ayrıca tamamen gol beklentisi tahminlerinin kalitesine bağlıdır.